\documentclass{article}
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\newmdtheoremenv[
  backgroundcolor=gray!10,
  linewidth=0pt,
  innerleftmargin=10pt,
  innerrightmargin=10pt,
  innertopmargin=10pt,
  innerbottommargin=10pt
]{zgraytheorem}{}
% 定义说明环境样式
\newtheoremstyle{mystyle}% 说明环境样式的名称
  {1em}% 上方间距
  {1em}% 下方间距
  {\normalfont}% 说明内容的字体样式
  {}% 缩进量
  {\bfseries}% 说明标记的字体样式
  {.}% 说明标记和说明内容之间的标点
  {1em}% 说明标记后的水平空间
  {}% 说明标记后的垂直空间
% 使用新定义的样式创建说明环境
\theoremstyle{mystyle}
\newtheorem*{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{5.1 习题}
\maketitle


\textbf{1.是0.1稳定的，但不是0.01稳定的} 

证明：

$0.1-0.01=0.09>0.01$

\textbf{2.序列$1,2,4,8,16,...$对于任意的$\epsilon$都不是$\epsilon -$稳定的。}

证明：

序列$1,2,4,8,16,...$中的元素$a_n>n$，设任意有理数$\epsilon > 0$，
由命题4.4.1可知，存在一个自然数$N>\epsilon$，所以，
\begin{align*}
  a_{N+1} - a_0 > N+1 - 1 = N > \epsilon 
\end{align*}
由$\epsilon$的任意性可知，对于任意的$\epsilon$序列都不是$\epsilon -$稳定的。

\textbf{3.序列$10,0,0,0,...$，它是最终$\epsilon -$稳定的。}

证明：

略

\textbf{4.无限序列$1,-2,3,-4,5,-6,...$没有界}

证明：

无限序列中的元素$|a_n| > n$，假设存在$M$使得序列以此为界，即对任意序列中的元素有，
\begin{align*}
  |a_n| \leq M
\end{align*}
但是由命题4.4.1可知，存在自然数$N>M$，又因为，
\begin{align*}
  |a_{N}| > N > M
\end{align*}
由矛盾可知，这样的$M$不存在。

综上，序列是无界的。
\end{document}